SDU电子电路基础笔记

第一章 直流电路

Ⅰ 电路

基本概念

1. 电路：构成电流通路的一切设备总和
2. 电源：提供电能或电信号的设备和器件
3. 负载：消耗电能或使用电信号的设备和器件
4. 金属导线

用途

1. 传送、分配和使用电能的电路，如照明电路、电力系统（强电）。
2. 变换、传送、处理信号的电路，如各种控制系统、计算机等（弱电）。

Ⅱ 理想电路元件

无源元件
电阻R，电感L，电容C

有源元件
独立电源，受控源

理想导线
允许任意强度的电流通过而不消耗或存储任何形式的能量。长度随意改变。

电容的串并联

串联：$\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}$

并联：$C=C_1+C_2$

电感的串并联

串联：$L=L_1+L_2$

并联：$\frac{1}{L}=\frac{1}{L_1}+\frac{1}{L_2}$

Ⅲ 基本变量

电流

电路中某处的电流的大小等于单位时间内通过该横截面的电荷量

$$i={dq\over dt}$$

电压

AB两点的电压（端电压，电压降，电位差），定义为单位正电荷因受电场力作用从A点移动到B点所做的功。

$$u_{AB}={dw\over dq}$$

电动势

电源的两端具有电位差，具有把正电荷从低点位端（负端）移到高电位端（正端）的能力。

交流电动势常用 $e(t)$ 或 $e$ 表示，直流电动势则用 $E$ 表示。

电动势的方向是从低点位端指向高电位端

功率

一段电路在单位时间之内得到或失去的能量

在关联参考方向下，瞬时功率：

$$p(t)={dw(t)\over dt}={dw(t)\over dq}\cdot{dq\over dt}=u(t)\cdot i(t)$$

在非关联参考方向上，瞬时功率：

$$p(t)=-u(t)\cdot i(t)$$

当 $p>0$ 时，吸收功率；当 $p<0$ 时，发出功率。

对一完整的电路，满足：发出的功率=吸收的功率

能量

电路在 $t_{1}$ 到 $t_{2}$ 的时间间隔内吸收/发出的电能量等于瞬时功率在该时间段内的积分。

$$w=\int_{t_1}^{t_2}p(t)dt=\int_{t_1}^{t_2}u(t)i(t)dt$$

Ⅳ 电路参考方向

电流的实际方向指单位正电荷的移动方向
电流（电压）的参考方向可以任意选定

按参考方向进行分析计算，根据计算结果的正负确定其实际方向

关联参考方向

元件或支路的u，i采用相同的参考方向称之为关联参考方向。
反之，称为非关联参考方向。

关联参考方向一定是针对一段电路讨论

Ⅴ 基尔霍夫定律

常用名词

支路，节点，回路，网孔

基尔霍夫电流定律（KCL)

在任一瞬间，流出电路中任一结点的电流的代数和恒等于零，即：

$$\sum I=0$$

约定：流入取负，流出取正。

KCL可推广应用于电路中包围多个节点的任意闭合面

（1）KCL是电荷守恒和电流连续性原理在节点处的反映；
（2）KCL是对支路电流加的约束，与支路上接的元件无关，与电路是线性还是非线性无关；
（3）KCL方程是按电流参考方向列写，与电流实际方向无关。

基尔霍夫电压定律（KVL）

在任一瞬间，沿任一回路绕行一周，各段电压降的代数和恒等于零。即：

$$\sum U=0$$

约定：电压降的方向与回路绕行方向一致取正，反之取负。

Ⅵ 迭加原理

在线性电路中，多个电源在某一支路产生的电流（或电压），等于各个电源单独作用时在该支路产生的电流（或电压）的代数和。
约定：与总量同向的分量取正，与总量反向的分量取负。

Ⅶ 等效变换

两个二段网络$N_1$和$N_2$，当他们与同一个外部电路相接，在相接端点处的电压、电流关系完全相同，则称$N_1$和$N_2$是相互等效的二端网络。

有阻电压源$\Leftrightarrow$有阻电流源

有阻电压源
一个理想电源和一个电阻元件串联

$$U=E-IR_{su}$$

有阻电流源
一个理想电源和一个电阻元件并联

$$I=I_s-{U\over R_{si}}$$

等效互换

$$R_{su}=R_{si}=R_s$$ $$E=I_sR_s$$

注意：等效变换前后要保持电源方向一致，即电流源的电流方向是由电压源的$-\rightarrow+$(经内部）

Ⅷ 戴维南定理

由线性元件构成的任意有源二端网络均可等效为一个有阻电压源。

等效有阻电压源的电动势 $E_0$ 等于二段网络的开路电压，内阻 $R_0$ 等于网络内的独立电源均为零（电压源短路，电流源开路）时网络的等效电阻。

PS. 对外等效

Ⅸ 电流分析方法

支路电流法

以支路电流为变量，根据基尔霍夫定律KCL、KVL，列电路方程组求解

PS：该法方程过多，慎用。

1. 选定各支路电流参考方向

2. 任选n-1个独立节点，按KCL列各节点电流方程

3. 选取m-n+1个独立回路并规定回路方向，按KVL列回路电压方程

4. 解方程，得到各支路电流

回路电流法

以回路电流为变量，根据KVL列出电路方程组求解

回路电流：假设每个独立回路都有一个沿回路流动的电流

1. 选取独立回路并规定回路电流。通常取网孔为独立回路，顺时针方向为回路电流方向
2. 对各独立回路，按KVL写出回路电压方程
3. 求解

含电流源的回路

方法一：等效变换

将有阻电流源等效变换为有阻电压源

方法二：不做等效变换

情况1：电流源限制一个回路（边沿支路）

可不写电流源所在回路的方程，但需要附加电流约束

情况2：电流源限制多个回路（公共支路）

增设电流源所在支路的电压，并考虑电流源对回路电流的约束

节点电压法

选定参考点（通常选取连接支路较多的节点）。其余节点为独立节点。

各独立节点与参考节点间的电压分别称为对应节点电压。

节点电压的参考极性均以参考节点为负极性端，独立节点为正极性端。

对每个独立节点根据KCL列方程

注意含电压源的支路电压计算

第二章 正弦交流电

Ⅰ 交流电概述

概念

正弦交流电是时间按照正弦函数规律变化的电压和电流。

由于交流电的大小和方向都是随时间不断变化的每一瞬间电压（电动势）和电流的数值都不相同。一般表示为$i(t),u(t)或i,u$。

表示

1. 三要素：频率、幅值、初相位（注意正弦函数和余弦函数）

   

   

2. 大小：瞬时值、最大值、有效值

   瞬时值：$e,i,u$

   最大值：$E_m,I_m,U_m$。在选择电器的耐压时，必须考虑电压的最大值。

   有效值：$E,I,U$。一个直流电流与一个交流电流分别通过阻值相等的电阻，如果通电的时间相等，在电阻上产生的热量也相等，那么直流电的数值就叫做交流电的有效值。一般电工仪表所测量的正弦量的值就是有效值。通常所说的交流电的电流、电压、电动势的值，如不做特殊说明都指有效值。

   

3. 方向：相位、初相位、相位差

   相位：$wt+\varphi$是时间的函数，表示正弦量的变化进程，确定正弦量瞬时值的大小和方向。

   初相位：$t=0$时的相位。

   相位差：两个正弦量的相位之差，同频率的正弦电量的相位差等于其初相位之差，通常以$\varphi$表示。$(一般取-180^{\circ}\le180^{\circ})$

Ⅱ 复数运算

1.复数及其表达形式

（1) 代数形式

$$实部和虚部：A=a+jb\\ Re[A]=a\ \ \ \ \ Im[A]=b\\ 模：|A|=\sqrt{a^2+b^2}\\ 与实轴的夹角（幅角）：\varphi=tan^{-1}{b\over a}\\ 投影a、b和模的关系：\begin{cases}a=|A|cos\varphi\\b=|A|sin\varphi\end{cases}$$

（2）三角函数形式

$$A=|A|cos\varphi+j|A|sin\varphi=|A|(cos\varphi+jsin\varphi)$$

（3）指数形式

$$A=|A|e^{j\varphi}$$

（4）极坐标形式

$$A=|A|\angle\varphi$$

2.复数运算

设有两个复数$A=a_1+ja_2=a\angle\varphi_a=ae^{j\varphi_a},B=b_1+jb_2=b\angle\varphi_b=be^{j\varphi_b}$

（1）加减法

$$C=A+B=(a_1+b_1)+j(a_2+b_2)\\ C^,=A-B=(a_1-b_1)+j(a_2-b_2)$$

（2）乘除法

$$C=A\cdot B=ab\angle\varphi_a+\varphi_b=abe^{j(\varphi_a+\varphi_b)}\\ C^,={A\over B}={ae^{j\varphi_a}\over be^{j\varphi_b}}={a\over b}\angle\varphi_a-\varphi_b$$

（3）旋转因子

$$根据欧拉公式有e^{j{\pi\over2}}=cos({\pi\over2})+jsin({\pi\over2})=j$$

注意：

相量的加减只能用代数形式运算

相量的乘除可以用代数形式或极坐标形式

因此，经常需要进行代数形式与极坐标形式的转换

Ⅲ 正弦量的相量表示

1.分析示意图

设有一正弦量$i=Isin(\omega t+{\varphi}_i)$，从该正弦量出发，最终推导出与它对应的相量，中间要用到复数作为过渡的桥梁。

PS. 相量中, $I$表示有效值，注意$\dot{I}$的写法

①正弦量$\to$复数

② 复数$\to$相量

③ 正弦量$\to$相量

看一道例题帮助理解

2.相量图及旋转相量

（1）相量图

相量是一种特殊的复数，可在复平面上用矢量表示，这种相量在复平面上的几何表示图称为相量图。

· 同频率的正弦量所代表的相量可以画在同一复平面上。

· 按照平行四边形法则进行向量相加，从而完成正弦量的加减。

（2）旋转相量

3.相量的运算

（1）加减法

（2）微分

（3）积分

4.电路分析的相量法

• 同频率的正弦量可用相量表示，对正弦量瞬时值成立的定理公式等，对相量同样成立，如基尔霍夫定律，叠加原理，戴维南定理等。
• 用相量表示正弦量，用复数运算完成相量的计算，就是电路分析的相量法。

优点：

①把时域问题变为复数问题

②把微积分方程的运算变为复数方程运算

③可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路

注意：

①只有正弦量才能用向量表示，非正弦量不可以

②只有同频率的正弦量才能画在一张向量图上，不同频率不行

③一般取直角坐标轴的水平正方向为参考方向，逆时针转动的角度为正，反之为负

④用向量表示正弦交流电后，他们的加减运算可按平行四边形法则进行

Ⅳ 正弦交流电路中的电阻元件

1.电压电流

电阻两端电压u和电流i同频、同相，大小成比例

电压与电流的有效值（或最大值）的关系符合欧姆定律 $U=IR$

用向量表示电压与电流的关系为 $\dot U=R\dot I$

2.瞬时功率

$$p=p_R=ui=U_msin\omega t\cdot I_msin\omega t=U_mI_msin^2\omega t=U_mI_m{1-cos2\omega t\over2}=UI(1-cos2\omega t)\geq 0$$

电阻只要有电流就消耗能量，它是一种耗能原件。

3.平均功率

$$P={1\over T}\int_T p(t)dt={1\over T}\int_0^T(UI-UIcos2\omega t)dt=UI={U_mI_m\over2}=I^2R={U^2\over R}$$

式中的U，I是正弦交流电的有效值

Ⅴ 正弦交流电路中的电感元件

1.线性电感

磁链与电流成正比的元件。即 $\Psi = Li$，$L$是电感量，单位为亨利（H）

磁场能量：$w_L={1\over 2}Li^2$

2.电压电流

在电压电流关联参考方向下

$$瞬时值：u(t)=-e(t)={d\Psi(t)\over dt}=L{di(t)\over dt}$$

设正弦电流为$i=I_msin\omega t$

$$u=L{di\over dt}=LI_m{d(sin\omega t)\over dt}=\omega LI_mcos\omega t=\omega LI_msin(\omega t+90°)=U_msin(\omega t+90°)$$

由此可知，u和i是同频率的正弦量，电压的相位超前电流90°，数值上满足 $U_m=\omega LI_m$

3.感抗

电感具有对交流电流起阻碍作用的物理性质，称为感抗，记为$X_L$，与电阻同量纲，即

$$X_L=\omega L=2\pi fL$$

当$f=0,X_L=0$时，“直流畅通，高频受阻”

用相量表示电压与电流的关系为：

$$\dot U=jX_L\dot I=j\omega L\dot I$$

注意

①感抗只对正弦交流电有意义

②感抗等于电压和电流的有效值之比，对瞬时值无意义

③感抗与频率有关，对于直流稳态电感相当于短路

4.瞬时功率

$$p=p_L=ui=U_msin(\omega t+90°)\times I_msin\omega t={1\over 2}U_mI_msin2\omega t=UIsin2\omega t$$

5.平均功率

$$P={1\over T}\int_0^T(UIsin2\omega t)dt=0$$

电感不消耗平均功率（有功功率）

但是电感不断与电源进行能量交换，其瞬时功率不为零

纯电感条件下电路中仅用能量的交换而没有能量的损耗

6.无功功率

电感瞬时功率的最大值为电感吸收的无功功率，用$Q_L$表示，即：

$$Q_L=UI=I^2X_L={U^2\over X_L}\ \ \ \ (var)$$

Ⅵ 正弦交流电路中的电容元件

1.线性电容

电荷量q与电压u成正比的电容元件。即 $q=Cu$

电容储存的电场能量： $w_E={1\over2}Cu^2$

2.电压电流

对于线性电容，电流与电压的导数（变化率）成正比

$$瞬时值：i(t)={dq\over dt}=C{du(t)\over dt}$$

设正弦电压$u=U_msin\omega t$

$$i=C{du\over dt}=CU_m{d(sin\omega t)\over dt}=\omega CU_mcos\omega t=\omega CU_msin(\omega t+90°)=I_msin(\omega t+90°)$$

由此知，u和i是同频率的正弦量，电流的相位超前电压90°，数值上满足：$I_m=\omega CU_m$

3.容抗

电容对交流电流起阻碍作用的物理性质，称为容抗，记为$X_C$，量纲与电阻相同

$$X_C={1\over \omega C}={1\over 2\pi fC}$$

当 $f\to 0$ 时，电容相当于开路，“隔直通交”

用相量表示电压与电流的关系为：

$$\dot{U}=-jX_C\dot I=-j{\dot I\over wC}={\dot I\over jwC}$$

$-jX_C$ 称为“复容抗”

4.瞬时功率

$$p=ui=U_msin\omega t\times I_msin(\omega t+90)=U_mI_msin\omega t\times cos\omega t={U_mI_m\over 2}sin2\omega t=UIsin2\omega t$$

5.平均功率

$$P=0$$

电容不消耗平均功率（有功功率）

但是电容不断与电源进行能量交换，其瞬时功率不为零

6.无功功率

$$Q_C=-UI=-I^2X_C=-{U^2\over X_C} \ \ \ \ (var)$$

正负只是区别是感性无功还是容性无功

小结

Ⅶ RLC串并联电路和复阻抗

1.RLC串联电路

电压电流关系

由KVL，相量形式为

$$\dot{U}=\dot{U}_R+\dot{U}_L+\dot{U}_C=[R+j(X_L-X_C)]\dot{I}=Z\dot I$$

$Z$为电路的“复阻抗”，$Z=R+jX=|Z|\ang \phi $，$Z={\dot{U}\over\dot{I}}$

2.复阻抗

$$Z=R+jX=|Z|\ang \phi$$

$|Z|$：复阻抗的模（阻抗） $\phi$：复阻抗的幅角（阻抗角） $R$：等效电阻 $X$：等效电抗

复阻抗是带角度的

电压电流关系

电压电流取关联方向，设$Z=|Z|\ang \phi,\ \ \dot{I}=I\ang\phi$

$$\dot{U}=Z\dot{I}=|Z|\ang \phi\times I\ang\phi_i=|Z|I\ang(\phi_i+\phi)=U\ang\phi_u$$

电压电流关系$\begin{cases}大小：U=|Z|I\\相位：\phi=\phi_u-\phi_i\begin{cases}>0,电压超前电流（电感性电路）\\=0,电压电流同相（纯阻性电路）\\<0,电压滞后电流（电容性电路）\end{cases}\end{cases}$

阻抗三角形

表示 $R,X,|Z|,\phi$ 关系的直角三角形

电压三角形

复阻抗的串并联

阻抗串联

Z是串联阻抗的等效阻抗，等于各串联阻抗之和

$$Z=Z_1+Z_2+......+Z_N \\|Z|\not=|Z_1|+|Z_2|+......+|Z_N|$$

N个串联复阻抗的分压公式为

$$\dot{U_k}={Z_k\over\sum_{k=1}^NZ_k}\dot{U}$$

阻抗并联

并联电路的等效阻抗为

$$Z={Z_1Z_2\over Z_1+Z_2}$$

并联复阻抗的分流公式为

$$\begin{cases}\dot{I_1}={Z_2\over Z_1+Z_2}\dot{I}\\\dot{I_2}={Z_1\over Z_1+Z_2}\dot{I}\end{cases}$$

Ⅷ 应用相量法计算正弦交流电路

正弦交流电路的定律、公式在形式上与直流电路相同

欧姆定律：$\dot U=Z\dot I$

KCL：$\sum\dot I=0$

KVL：$\sum\dot U=0$

叠加原理：各分量均为相量，总量为各分量的相量和

戴维南定理：等效电源为$\dot E_0,Z_0$

回路电流法：回路电流为相量，自阻、互阻为复数

节点电压法：节点电压为相量，自导、互导为复数

Ⅸ 正弦交流电路的功率计算

瞬时功率

$$p=ui=\sqrt2U\sin(\omega t+\phi)\cdot \sqrt2I\sin\omega t=UI\cos\phi-UI\cos(2\omega t+\phi)$$

$\phi$：阻抗角，电压和电流的相位差
$\phi=0$，电路只消耗能量
$\phi\not=0$，电路与电源有能量交换

有功功率P（平均功率、功率）

$$P={1\over T}\int^T_0pdt={1\over T}\int^T_0[UI\cos\phi-UI\cos(2\omega t-\phi)]dt=UI\cos\phi$$

$cos\phi$：电路的功率因数，[0,1]

白炽灯看作纯电阻，$\cos\phi=1$

电路消耗的总有功功率等于电路中各电阻所消耗的有功功率之和

无功功率Q

$\phi\not=0$时，电路和电源之间交换功率的最大值

$$p=UI\cos\phi-UI\cos(2\omega t+\phi)=UI\cos\phi-UI\cos\phi\cdot \cos2\omega t+UI\sin\phi\cdot \sin2\omega t\\ UI\cos\phi-UI\cos\phi\cdot \cos2\omega t \to“消耗”的瞬时功率（电阻瞬时）\\ UI\sin\phi\cdot \sin2\omega t \to 交换的瞬时功率（电抗无功）$$

无功功率：$Q=UI\sin\phi$

①无功功率可正可负，感性电路大于0，容性电路小于0

②电感无功和电容无功可相互抵消，电路所消耗的无功等于电路中各电抗元件所消耗的无功的代数和，$Q=\sum Q_L-\sum Q_C$（正-正）

视在功率S

定义：$S=UI$为视在功率，单位为伏安（VA）

表示电源设备的供电能力，也称“容量”

家用电表按有功功率收费

功率三角形

提高电路的功率因数

并联电容器，利用电容器中超前于电压的电流抵消感性负载消耗的无功电流分量

计算：

• 通常给出：电源$(U,\omega)$，负载$(P,\cos\phi)$
• 要求达到：$\cos\phi^,$
• 求并接的电容$C$

求解步骤：

①计算旧电路的无功功率

$$Q_L=UI\sin\phi=U\cdot{P\over U\cos\phi}\cdot\sin\phi={P\over \cos\phi}\sqrt{1-\cos^2\phi}$$

②计算新电路的无功功率

$$Q=UI\sin\phi´={P\over \cos\phi´}\sqrt{1-\cos^2\phi´}$$

③计算电容无功功率

$$Q_C=Q-Q_L$$

④计算电容容量

$$C={Q_C\over\omega U^2}={Q_C\over 2\pi fU^2}$$

第三章 非正弦交流电路与电路中的过渡过程

Ⅰ 电路的过渡过程

稳态

直流电路：各支路电压电流保持恒定

交流电路：各支路的电压电流的幅值、频率、变化规律等稳定不变

过渡过程

当电路结构（开关通断）或元件参数发生变化（电源或其他元器件通断），可能会改变电路原来的工作状态，使得电路中的电压或电流由一种稳定状态转换成另一种稳定状态的过程。

电路的过渡过程必然性，电容上的电压和电感中的电流一般不能跃变。

过渡过程的三种类型

零输入响应

在没有电源输入的情况下引起的电路中电压和电流的变化称为电路的零输入响应

电路中含有储能元件时就可能出现零输入响应

时间常数$\tau$

①表示过渡过程进行快慢

​ $\tau$越大，电压电流的暂态变化越慢，反之，越快

​ $\tau$仅与电路内参数有关，与激励和初始状态无关

②一阶RC线性电路的零输入响应中，$t=\tau$时，电压$U_c$衰减到初始值的36.8%

​ 理论上$t=\infty$才能达到稳定，即$U_c=0$

​ 实际上$t=3\tau-5\tau$进入稳态

• 一阶RC电路的零输入响应

  $$u_C(t)=U_0e^{-{t\over\tau}},i_C(t)={U_0\over R}e^{-{t\over\tau }},t\ge0_+\\\tau=RC$$

• 一阶RL电路的零输入响应

  $$i_L(t)=I_0e^{-{t\over\tau}},u_L=-RI_0e^{-{t\over\tau}},t\ge0_+\\ \tau={L\over R}=GL$$

• 综上，零输入响应=初始值$\times e^{-{t\over\tau}},t\ge0_+$，R指所有电阻的等效电阻

• 求解过程分为三步骤：

  • 根据电路模型、元件属性和原始状态确定代求变量的初始值
  • 根据换路后的电路模型确定电路的时间常数$\tau$
  • 写出零输入响应

零状态响应

电路中的储能元件的初始储能为零，完全由电源激励所产生的电路响应为零状态响应

• 一阶RC电路零状态响应

  $$u_C(t)=U_s(1-e^{-{t\over\tau}}),i_C(t)=C{du_C(t)\over dt}={U_s\over R}e^{-{t\over\tau}}\\ u_C(t)=RI_s(1-e^{-{t\over\tau}}),i_C=I_se^{-{t\over\tau}}$$

• 一阶RL电路的零状态响应

$$i_L(t)={U_s\over R}(1-e^{-{t\over\tau}}),u_L(t)=L{di_L(t)\over dt}=U_se^{-{t\over\tau}}$$

全响应

输入和初始储能均不为零的电路，引起的电路响应

全响应=零输入响应+零状态响应

• 一阶电路全响应

  首先求零输入响应，然后求零状态响应

$$u_C(t)=u_{ZI}(t)+u_{ZS}(t)=U_s+(U_0-U_s)e^{-{t\over\tau}}\\ i(t)=i_{ZI(t)}+i_{ZS}(t)=0+({U_s\over R}-{U_0\over R})e^{-{t\over\tau}}$$

Ⅱ 换路定理

在换路瞬间，电容电压和电感电流不能突变

1. 具有电感的电路

$$i_L(0_+)=i_L(0_-)$$

1. 具有电容的电路

$$u_C(0_+)=u_C(0_-)$$

特别注意：除了$i_L,u_C$其他物理量可以发生突变，由电路结构决定

Ⅲ 时域经典法

根据KVL，KCL和元件的伏安特性建立描述电路的方程，然后再求解微分方程，得到所求变量的解，称为时域经典法。

$$\star \ i_c=L{di\over dt}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \star u_c=C{du\over dt}$$

注意 i 与 u 的参考方向是否关联

微分方程的阶次称为电路的阶次

当得到的方程为一阶线性常系数微分方程，相应电路为一阶线性电路。

• 电路中仅一个动态元件的电路是一阶电路。
• 若电路中的动态元件可以归结为一个动态元件的电路是一阶电路

$${dy\over dx}+p(x)y=Q(x)\\ {dy\over dx}+p(x)y=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y=Ce^{-\int p(x)dx}\\ y=Ce^{-\int p(x)dx}+{Q(x)\over p(x)}$$

C由初始值决定

Ⅳ 一阶电路的阶跃响应

单位阶跃函数用$\epsilon(t)$表示，其定义为：

$$\epsilon(t)=\begin{cases}1,t>0\\0,t<0\end{cases}\\ u_s(t)=U_s\epsilon(t)V$$

• 应用1：描述某些情况下的开关动作

• 应用2：描述起始时间

$$\epsilon(t-t_0)=\begin{cases}1,t-t_0\\0,t<t_0\end{cases}$$

• 应用3：简洁地表示某些信号

$$f(t)=A\epsilon(t)-A\epsilon(t-t_0)$$

当激励为$\epsilon(t)$时，电路的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应$g(t)$

（1）线性叠加性

$$af_1(t)+bf_2(t)\to ay_{f_1}(t)+by_{f_2}(t)$$

（2）时不变性

$$if:\ f(t)\to y_f(t)\\ then:\ f(t-t_0)\to y_f(t-t_0)$$

Ⅴ 求解一阶电路的三要素法

若用$f(t)$表示电压或电流，$f(0_+)$表示其换路后的初始值，$f(\infin)$表示其换路后的稳态值，用$\tau$表示电路的时间常数

$$f(t)=f(\infin)+[f(0_+)-f(\infin)]e^{-{t\over\ \tau}}$$

初始值和稳态值的计算

换路后的初态电路$\begin{cases}电容换成电压源\ E_C=u_C(0_+)\\电感换成电流源\ I_L=i_L(0_+)\end{cases}$

换路后的稳态电路$\begin{cases}电容开路\\电感短路\end{cases}$

第四章 半导体基础

Ⅰ 杂质半导体

N型半导体：掺入5价元素，多子是电子，少子是空穴

P型半导体：掺入3价元素，多子是空穴，少子是电子

注意：杂质半导体呈电中性

PN结

一侧为P型半导体，另一侧为N型半导体，在它们的交界面就形成PN结

在N型和P型交界处，载流子的浓度差会引起扩散运动。P区的空穴向N区扩散，与其电子复合；N区的电子向P区扩散，与其空穴复合。使交界面附近的载流子消失，只剩下带电离子，形成不能移动的空间电荷区，这各电荷区就叫做PN结。此外，该区域多数载流子已扩散到对方并复合掉了，或者说消耗尽了，因此也叫耗尽层。

PN结内电场

方向由N区指向P区

PN结的单向导电性

1. PN结外加正向电压（P区接正，N区接负），外电场与内电场方向相反，内电场被削弱，多子扩散得到加强，少子漂移被削弱，扩散电流大大超过漂移电流，使多子越过交界面形成正向电流（由P到N），形成较大的正向电流。（导通）
2. PN结外加反向电压（P区接负，N区接正），外电场与内电场方向一致，内电场增强，不利于多子的扩散，有利于少子的漂移，形成了基于少子飘逸的反向电流，由于少子数量很少，电路中基本无电流。（截止）

结论：PN结具有单向导电性，正偏导通，反偏截止

Ⅱ 半导体二极管的伏安特性

理论上，二极管的伏安特性就是PN结的伏安特性，PN结两端的电压$U_D$和电流$I_D$之间的关系：

$$I_D=I_S(e^{\frac{qU_D}{kT}}-1)\\ U_T=\frac{kT}{q},热电压\\ I_D=I_S(e^{U_D\over U_T}-1)\\ I_S反向饱和电流,U_D二极管两端电压降\\ k=1.6\times10^{-19}C玻尔兹曼常数,q电子电荷,T绝对温度$$

正向特性

① 死区：正向电压$U_D$小于死区电压时，二极管截止，正向电流$I_D$约为0

② 导通区：$U_D>U_{D(on)}$时，外加正向电压大于PN结内电场，阻挡层消失，二极管导通，$I_D$急剧增大。导通后二极管两端电压基本恒定。

结论：正偏时电阻小，具有非线性，电路中一定要有限流电阻，不然因为电流过大损害二极管

反向特性

① 击穿：$U_D>U_{BR}$，反向电流急剧增大，二极管失去单向导电性，对应的电压$U_{BR}$称为反向击穿电压

② 截止：$U_D<U_{BR}$，反向电压的存在外电场增强内电场（阻止多子）。由于存在少子，会有一定的反向电流$I_D$。一定电压范围内，反向电流几乎不变，反向电流很小且近似为常数，称为反向饱和电流$I_S$

结论：反偏电阻大，存在击穿现象

温度对二极管的影响

随着温度的升高，其正向特性曲线左移，即导通电压减小；反向特性曲线下移，即反向饱和电流增大

Ⅲ 二极管电路分析

理想模型

忽略二极管的正向导通压降和反向漏电流

理想二极管 = 理想开关

• 外加电压稍大于0，就导通，管压降为0V——开关闭合
• 当反偏时，二极管截止，其电阻为无穷大——开关断开

恒压模型

二极管正向压降与外加电压相比不能忽略，可用理想二极管和电压源E串联构成的模型来近似替代。导通管压降常称为“阈值电压”，用$V_\gamma$表示

小功率硅二极管通常取$V_\gamma=0.7V$，锗二极管通常取$V_\gamma=0.5V$，正向压降不再认为是0，而是接近实际工作电压的某一定值，且不随电流变化

解：先确定二极管工作状态：“设截止，算电压，定状态”

• 先假定二极管截止，按二极管截止时的电路计算出二极管的端电压，再根据这个端电压确定二极管的工作状态
• 若端电压小于二极管的阈值电压$V_\gamma$，则二极管截止；否则，二极管导通

稳压二极管

稳压管主要工作在反向击穿区，配合限流电阻可得到一个稳定的电压

• 稳定电压$U_Z$

  稳压管在反向击穿状态工作时的两端电压

• 稳定电流$I_Z$

  反向击穿状态工作时的电流。最大值$I_{Zmax}=\frac {P_{ZM}}{U_Z}$，超过此值会烧坏管子；最小值$I_{Zmin}$，小于此值时，稳压二极管将失去稳压作用

• 动态电阻$r_Z$

  稳压管子端电压和其电流的变化量之比，曲线越陡，则动态电阻越小，稳压效果越好，$r_Z=\frac{\Delta U_Z}{\Delta I_Z}$

• 最大允许耗散功率$P_{ZM}$

  稳压管不发生热击穿的最大功率损耗。其值为稳定电压和允许的最大电流乘积。$P_{ZM}=U_Z\cdot I_{Zmax}$

解：首先判断稳压二极管能否击穿，方法是假设稳压管断开，看$U_O$是否大于$U_Z$

Ⅳ 半导体三极管

NPN型，PNP型

发射区、基区、集电区

发射极（e）、基极（b）、集电极（c）

$$I_e=I_c+I_b\\ 共发射极直流电流放大系数：\bar\beta=\frac{I_{cE}}{I_{bE}}\\ I_{cbo}可以忽略时：\bar\beta=\frac{I_c}{I_b},I_e=(1+\bar\beta)I_b$$

主要参数

• 直流静态电流放大系数$\bar\beta=\frac{I_CE}{I_BE}$

  交流动态电流放大系数$\beta=\frac{\Delta I_{CE}}{\Delta I_{BE}}$

• 发射机开路时，集基极反向饱和电流$I_{CBO}$

• 基极开路时，集射极穿透电流$I_{CEO}$

特性曲线

1. 输入特性曲线（BE回路）

   $I_{B}=f(U_{BE})|U_{CE}=c常数$

   就是PN结的特性

   

2. 输出特性曲线（CE回路）

   $I_C=f(U_{CE})|I_B=c常数$

   

   • 放大区

     条件：e结正偏，c结反偏$(I_B>0,U_{CE}\geqslant U_{BE})$

     特点：$I_C=\beta I_B$

• 饱和区

  条件：e结正偏，c结正偏$(I_B>0,U_{CE}<U_{BE})$

  特点：$I_C<\beta I_B$；三个电极间电压很小，相当短路。

• 截止区

  条件：e结反偏，c结反偏

  特点：$I_B=0,I_C=I_{CEO}\approx 0$；三个电极间相当开路。

Ⅴ 晶体管的工作状态及电路模型

截止

发射结与集电结均处于反偏

• 条件：$U_{BE}<V_\gamma(V_{BES})$

• 特点：$I_B=0,I_C=0$

• 电路模型：各电极之间断开

• 输出电压：$U_0=U_{CE}=V_{CC}$

  

放大

发射结正偏，集电结反偏

• 条件：$U_{BE}\geqslant V_\gamma,V_C>V_B$

• 特点：$I_C=\beta I_B$

• 电路模型：发射结恒压（导通），集电结恒流（受控）

• 输出电压：$U_0=U_{CE}=V_{CC}-R_CI_C=V_{CC}-\beta R_CI_B$

  

饱和

发射结与集电结均处于正偏

• 条件：$U_{BE}>V_\gamma,V_C\leqslant V_B$，常用条件：$I_B\geqslant I_{BS}\approx \frac{V_{CC}}{\beta R_C}$

• 特点：$I_C=I_{CS}\approx \frac{V_{CC}}{R_C}$

• 电路模型：发射结恒压$(V_{BE}=V_\gamma)$，集电结恒压$(V_{CE}\approx 0)$

• 输出电压：$U_0=U_{CES}\approx 0$

  

Ⅵ 晶体管工作状态分析

判定方法：先设截止，再查饱和，否则放大

• 先由基极回路判定是否截止

  • 假定e结截止，计算电路加在e结上的电压$U_{BE}^´$

  • 若$U_{BE}^´<V_\gamma$，则e结截止，$I_B=0,U_{BE}=U_{BE}^´$

  • 若$U_{BE}^´>V_\gamma$，则e结导通，$U_{BE}=V_\gamma$

    

• 若导通，检查是否饱和

  • 集电极饱和电流，$I_{CS}=\frac{V_{CC}-V_{CES}}{R_C}\approx \frac{V_{CC}}{R_C}$
  • 临界饱和基极电流，$I_{BS}=\frac{I_{CS}}{\beta}=\frac{V_{CC}}{\beta R_C}$
  • 若$I_B\geqslant I_{BS}$，则T饱和：$I_C=I_{CS},U_0=U_{CES}\approx 0$
  • 若$I_B<I_{BS}$，则T放大：$I_C=\beta I_B,U_0=V_{CC}-R_CI_C$

第五章 基本交流放大电路

Ⅰ 晶体管基本交流放大电路

电路组成

输入信号源、晶体三极管、输出负载以及直流电源和相应的偏置电路

• 直流电源和相应的偏置电路用来为晶体三极管提供静态工作点，以保证晶体三极管工作在放大区

• 输出负载将电流的变化转变为电压的变化

共发射放大电路的组成

• 晶体管T：放大元件，用基极电流$i_B$控制集电极电流$i_C$ $(i_c=\beta i_B)$

• 电源$V_{CC}$和$E_B$：使晶体管的发射结正偏，集电结反偏，晶体管处在放大状态；同样是能量来源，提供$i_B,i_C$。一般是几伏到十几伏

• 偏置电阻$R_B$：调节基极偏置电流 $I_B$，使晶体管有合适的工作点 ，一般为几十千欧到几百千欧

• 集电极负载电阻$R_C$：将集电极电流的变化转变为电压的变化，以获得电压放大，一般为几千欧

• 电容$C_1,C_2$：传递交流信号（耦合作用）。隔离直流信号。为了减少信号的电压损失，$C_1,C_2$应该足够大。极性电容（电解电容）

  

三种基本组态放大器

共基极、共集电极、共发射极

放大原理

1. 无输入信号时放大器的工作情况

   当$u_i=0$时，放大电路处于静态或直流工作状态，此时的基极电流$I_B$、集电极电流$I_C$和集电极发射极电压$U_{CE}$在三极管特性曲线上所确定的点称为静态工作点，习惯上用Q表示

   这些电压和电流值也称为静态电压和静态电流

   静态工作点的设置是放大器能否正常工作的重要条件

2. 输入交流信号时的工作情况

   

放大电路的分析方法

静态分析（直流计算）

计算放大电路在没有输入信号时的工作状态

• 画直流通路——电容开路，电感短路；信号源不作用（电压源短路，电流源开路）

• 估算法

  $$I_{BQ}=\frac{V_{CC}-U_{BEQ}}{R_B}\approx\frac{V_{CC}-U_{BES}}{R_B}\\\ \\ 判断是否处于放大状态\\ I_{CQ}=\beta I_{BQ}\\ U_{CEQ}=V_{CC}-I_{CQ}R_C$$

• 图解法

  • 输入回路

    

  • 输出回路

    

    截止失真：$R_B$过大，$I_{BQ}$过小。发射结没有正向导通，三极管进入截止区。Q点过低，输出波形出现顶部失真

    饱和失真：$R_B$过小，$I_{BQ}$过大。集电结没有反向偏置，三极管进入饱和区。Q点过高，输出波形出现底部失真

  • 图解步骤

    • 估算法求出基极电流$I_{BQ}$

    • 根据$I_{BQ}$在输出特性曲线中找到对应的曲线

    • 作直流负载线

      根据$U_{CE}=U_{CC}-I_CR_C$可画一条直线，其纵轴截距为$\frac{U_{CC}}{R_C}$，横轴截距为$U_{CC}$，斜率$-\frac{1}{R_C}$，只与负载电阻有关

    • 求静态工作点Q并确定$U_{CEQ},I_{CQ}$的值

      输出特性曲线和直流负载线的交点即为静态工作点Q，由Q可在坐标上查得$U_{CEQ},I_{CQ}$

动态分析

一般只考虑交流分量，通常采用微变等效电路近似计算。

晶体管的微变等效电路

小功率晶体管动态输入电阻的估算式$r_{be}=200+(1+\beta)\frac{26mV}{I_E(mA)}$

$I_E$是发射极的静态电流，以毫安为单位

200Ω是小功率晶体管的基区体电阻

26mV是25°C时的温度电压当量值

小功率三极管的$r_{be}$一般为几百欧到几千欧

输出用受控电流源$\beta i_b$表示

晶体管放大电路的交流通路

输入交流信号时放大电路交流信号流通的路径

画交流通路——直流电源、电容短路

放大电路与微变等效电路的转换

• 电压放大倍数$A_u=\frac{U_o}{U_i}$

  • $R_L´=R_C//R_L$

    $A_u=\frac{\dot{U_o}}{\dot{U_i}}=\frac{-R_L´\dot{I_c}}{r_{be}\dot{I_b}}=\frac{-R_L´\beta\dot{I_b}}{r_{be}\dot{I_b}}=-\frac{\beta R_L´}{r_{be}}$

  • 空载放大倍数$A_{u0}$，$R_L=\infin$（开路）,$A_u=-\frac{\beta R_C}{r_{be}}$

  ​ 负载电阻越小，放大倍数越低，这是放大器的负载效应

  • 源载放大倍数$A_{us}$(考虑信号源内阻)

  ​ $A_{us}=\frac{U_o}{U_s}=\frac{U_i}{U_S}\frac{U_o}{U_i}=\frac{r_i}{R_S+r_i}A_u$

  ​ 信号源有内阻$R_S$时，放大器得到的输入电压小于信号源的电动势。

• 输入电阻$r_i=\frac{U_i}{I_i}$($r_i$越大越好)

  微变等效电路$r_i=r_{be}//R_B\approx r_{be}$

  注意：$r_i$是放大器的输入电阻，$r_{be}$是三极管的输入电阻

• 输出电阻$r_o$（$r_o$越小越好)

  计算方法：信号源$U_S$短路，断开负载$R_L$，在输出端加电压$U_o$，求出由$U_o$产生的电流$I_o$，则输出电阻为$r_o=\frac{U_o}{I_o}$

  微变等效电路$r_o=R_C$

Ⅱ 固定偏置放大电路

固定偏置电路：由$R_B$提供偏流$I_B$，可以通过改变$R_B$的阻值来调整$I_B$的大小，从而获得合适的工作点

缺点：晶体管的电气参数受温度影响较大

$$I_{BQ}=\frac{U_{CC}-U_{BEQ}}{R_B}=\frac{U_{CC}-0.7}{R_B}\approx\frac{U_{CC}}{R_B}\\ I_{CQ}=\beta\times I_{BQ}+(1+\beta)I_{CBO}\\ U_{CEQ}=U_{CC}-I_{CQ}\times R_C$$

Ⅲ 分压式偏置放大电路

静态分析

$$U_{BQ}=\frac{R_{b2}}{R_{b1}+R_{b2}}V_{CC}\\ I_{CQ}\approx I_{EQ}=\frac{U_{BQ}-U_{BEQ}}{R_e}\approx \frac{U_{BQ}}{R_e}\\ I_{BQ}=\frac{I_{CQ}}{\beta}\\ U_{CEQ}=V_{CC}-I_{CQ}(R_c+R_e)$$

交流分析

$$A_u=-\frac{\beta R^´_L}{r_{be}}(R^´_L=R_C//R_L)\\ R_i=r_{be}//R_{b1}//R_{b2}\approx r_{be}\\ R_o=R_c$$

Ⅳ 射极输出放大器

射极输出器是共集电极（简称共集）组态的放大电路

静态分析

$$U_{CC}=I_{BQ}R_B+U_{BEQ}+I_{EQ}R_E=I_{BQ}R_B+U_{BEQ}+(1+\beta)I_{BQ}R_E\\ I_{BQ}=\frac{U_{CC}-U_{BEQ}}{R_B+(1+\beta)R_E}\\ I_{CQ}=\beta I_{BQ}\\ U_{CEQ}=U_{CC}-I_{EQ}R_E\approx U_{CC}-I_{CQ}R_E$$

动态分析

• 求电压放大倍数

  $$A_u=\frac{U_o}{U_i}=\frac{(1+\beta)R^´_L}{r_{be}+(1+\beta)R^´_L}\\ R^´_L=R_L//R_E$$

• 求输入电阻

  $$I_i=I_1+I_b=\frac{U_i}{R_B}+\frac{U_i}{r_{be}+(1+\beta)R^´_L}\\ R_i=\frac{U_i}{I_i}=R_B//[r_{be}+(1+\beta)R^´_L]$$

• 求输出电阻

  $$I=I_b+\beta I_b+I_e=\frac{U}{r_{be}+R_s}+\beta\frac{U}{r_{be}+R_s}+\frac{U}{R_E}\\ R_o=\frac{U}{I}=R_E//\frac{r_{be}+R^´_L}{1+\beta}200$$

第六章 集成运算放大器

• 集成运放是一种直接耦合的多级放大器，放大倍数高达$10^4$以上，具有以下特性：

  • 可放大交流信号，也可以放大直流信号
  • 差动输入，有两个输入端，利用对称性，有效抑制温漂和零漂
  • 尽可能用有源器件代替无源器件

• 集成运放通常由输入放大级、中间电压放大级、输出级及偏置电路等四部分组成

• 集成运放有两个输入端和一个输出端。反相输入端标’-‘号，同相输入端标’+’号。$V_o=A_0(V_{i+}-V_{i-})$

  输出电压与反相输入电压相位相反，与同相输入电压相位相同

差分放大电路

$$u_{i1}=u_c+u_d\ \ \ \ u_{i2}=u_c-u_d\\ 共模信号u_c\ \ \ \ 差模信号u_d$$

• 两个输入端分别输入大小相等、相位相反的信号，这种信号叫做差模信号，这时的放大倍数叫做差模增益$A_d=\frac{u_{od}}{u_d}$
• 两个输入端分别输入大小相等、相位相同的信号(有害)，这种信号叫做共模信号，这时的放大倍数叫做共模增益
• 电路对共模信号有很强的负反馈，所以共模放大倍数很小，一般小于1，$A_c=\frac{u_{oc}}{u_c}$

理想运算放大器

满足条件

• 开环差模电压放大倍数 $A_{uo}=\infin$

• 差模输入电阻 $r_{id}\to\infin$

• 输出电阻 $r_o=0$

• 带宽 $BW\to\infin$

• 转换速率 $S_R\to\infin$

• 共模抑制比 $CMRR\to\infin$

• 无干扰和噪声，输入偏置电流，无温漂，失调电流均为0

传输特性

输出电压与输入电压之间的特性曲线

线性区

由于$A_{uo}=\infin$，输出电压为有限值，所以$u_{id}=u_+-u_-=u_o/A_{uo}\approx0$，即$u_-=u_+$，称为”虚短“

由于$r_{id}\to\infin$，有$i_-=i_+=u_{id}/r_{id}\approx0$，称为”虚断“

饱和区

输出电压为运放的正负饱和值$\pm U_{OM}$，该值略低于运放的正负电源的电压值

运算放大器的基本应用电路

反相放大器

$$\because I_i\approx0(虚断)\\ \therefore i_1\approx i_f \\ i_1=\frac{u_i-u_-}{R_1}\ \ \ \ i_f=\frac{u_--u_o}{R_f}\\ \frac{u_i-u_-}{R_1}=\frac{u_--u_o}{R_f}\\ \because u_-\approx u_+(虚短)=0(虚地)\\ \therefore A_u=\frac{U_o}{U_i}=-\frac{R_F}{R_1}$$

负号表示$u_o$与$u_i$相位相反，所以称为反相放大器

$r_i=R_1,r_o=0$，输出电阻不受负载电阻影响

同相放大器

$$\because I_i\approx0(虚断)\\ \therefore i_1\approx i_f \\ i_1=\frac{-u_-}{R_1}\ \ \ \ i_f=\frac{u_--u_o}{R_f}\\ \frac{-u_-}{R_1}=\frac{u_--u_o}{R_f}\\ \because u_-\approx u_+(虚短)=u_i\\ \therefore A_u=\frac{V_o}{V_i}=1+\frac{R_F}{R_1}$$

正号表示$u_o$与$u_i$同相，且$A_u\ge1$。

$r_i\to\infin,r_o=0$

若$R_F=0$或$R_1\to\infin$，$A_u=1$，即$u_o=u_i$，电路变成电压跟随器

减法器

当$u_{i1}$单独作用时，$u_{o1}=-\frac{R_F}{R_1}u_{i1}$

当$u_{i2}$单独作用时，$u_{o2}=(1+\frac{R_F}{R_1})u_+=(1+\frac{R_F}{R_1})\frac{R_3}{R_2+R_3}u_{i2}$

$$u_0=u_{o1}+u_{o2=}=(1+\frac{R_F}{R_1})\frac{R_3}{R_2+R_3}u_{i2}-\frac{R_F}{R_1}u_{i1}$$

当$R_1=R_2,R_3=R_F$时，$u_o=\frac{R_3}{R_1}(u_{i2}-u_{i1})$

当$R_1=R_2=R_3=R_F$时，$u_o=u_{i2}-u_{i1}$

$u_{i2}=0$（接地）时，减法器等效为反向比例放大器

反相加法器

$$U_-=U_+=0\\\ \\ I_{i1}+I_{i2}+I_{i3}=\frac{U_{i1}-U_-}{R_1}+\frac{U_{i2}-U_-}{R_2}+\frac{U_{i3}-U_-}{R_3}=\frac{U_{-}-U_o}{R_f}\\\ \\ U_o=-(\frac{R_f}{R_1}U_{i1}+\frac{R_f}{R_2}U_{i2}+\frac{R_f}{R_3}U_{i3})$$

当$R_1=R_2=R_3=R$时，$U_o=-\frac{R_f}{R}(U_{i1}+U_{i2}+U_{i3})$

改变某一输入回路的电阻时，仅改变输出电压与该路输入电压之间的比例，对其他各路无影响，调节灵活方便。

同向加法器

$$I_f=I_{R_1}\\ U_{-}=\frac{R_1}{R_1+R_f}U_o\\ I_{i1}+I_{i2}+I_{i3}=\frac{U_{i1}-U_+}{R^´_1}+\frac{U_{i2}-U_+}{R^´_2}+\frac{U_{i3}-U_+}{R^´_3}=\frac{U_+}{R^´}\\ \because U_+=U_-\\ \therefore U_+=\frac{R_+}{R^´_1}U_{i1}+\frac{R_+}{R^´_2}U_{i2}+\frac{R_+}{R^´_3}U_{i3}\\ (R_+=R^´_1//R^´_2//R^´_3//R^´)\\ \therefore U_o=(1+\frac{R_f}{R_1})(\frac{R_+}{R^´_1}U_{i1}+\frac{R_+}{R^´_2}U_{i2}+\frac{R_+}{R^´_3}U_{i3})$$

改变某一输入回路的电阻时，其他支路的比例关系也有所改变，调节麻烦

电压比较器

按理想情况分析

若$U_->U_+$，则$U_o=-U_{OM}$

若$U_-<U_+$，则$U_o=+U_{OM}$

非零电平比较器

若$u_i$从同相端输入（同相电压比较器）

当$u_i>u_R$时，$u_o=+U_{om}$；当$u_i<u_R$时，$u_o=-U_{om}$

若$u_i$从反相端输入（反相电压比较器）

当$u_iu_R$时，$u_o=-U_{om}$

零电平比较器

迟滞比较器(滞回比较器、滞环比较器、施密特触发器)

反向滞回比较器（下行）

当$u_i\to -\infty$，$u_o$正饱和$(u_o=+U_{OM})$，$U_+=\frac{R_1}{R_1+R_2}U_{om}=U_{+H}$

当$u_i\to +\infty$，$u_o$负饱和$(u_o=-U_{OM})$，$U_+=-\frac{R_1}{R_1+R_2}U_{om}=U_{+L}$

$U_{+H}$上门限电压 $U_{+L}$下门限电压 $U_{+H}-U_{+L}$称为回差

加上参考电压后

$$U_{+H}=\frac{R_1}{R_1+R_2}U_{om}+\frac{R_2}{R_1+R_2}U_R\\ U_{+L}=-\frac{R_1}{R_1+R_2}U_{om}+\frac{R_2}{R_1+R_2}U_R$$

同相滞回比较器（上行）

$$当u_o=-U_{OM}\\ 令\frac{R_2}{R_1+R_2}u_i-\frac{R_1}{R_1+R_2}U_{om}=0\\ 则u_i=U_{+H}=\frac{R_1}{R_2}U_{om}$$ $$当u_o=+U_{OM}\\ 令\frac{R_2}{R_1+R_2}u_i+\frac{R_1}{R_1+R_2}U_{om}=0\\ 则u_i=U_{+L}=-\frac{R_1}{R_2}U_{om}$$

加上参考电压后

$$当u_o=-U_{OM}\\ 令\frac{R_2}{R_1+R_2}u_i-\frac{R_1}{R_1+R_2}U_{om}=U_R\\ 则u_i=U_{+H}=\frac{R_1}{R_2}U_{om}+\frac{R_1+R_2}{R_2}U_R$$ $$当u_o=+U_{OM}\\ 令\frac{R_2}{R_1+R_2}u_i+\frac{R_1}{R_1+R_2}U_{om}=U_R\\ 则u_i=U_{+L}=-\frac{R_1}{R_2}U_{om}+\frac{R_1+R_2}{R_2}U_R$$